الفهرس 
AbstractOnly 14 pages are availabe for public view
 |  | from | 126 |  |  |
| | | from | 126 | | |
Abstract
الطرق الطيفية لحل المعادلات التفاضلية من الرتب الكسرية باستخدام كثيرات حدود لاجير فى فترة نصف منتهية
يهتم موضوعا التحليل العددي ونظرية التقريب بتقديم الطرق التقريبية لحلول المسائل المصاغة رياضيا مثل المعادلات التفاضلية، ولما كان هناك العديد من الظواهر الطبيعية التى يمكن وصفها باستخدام المعادلات التفاضلية من الرتب الكسرية، فإننا سوف نهتم في هذه الرسالة وعلى وجه الخصوص بفصول من المعادلات التفاضلية من الرتب الكسرية، وسوف نركز هنا فى الحصول على التقاريب للدوال الصريحة لمثل هذه المعادلات، وهي المعادلات التفاضلية من الرتب الكسرية. كما نركز علي المعادلات التفاضلية من أي رتبة خطية أو غير خطية بشروط ابتدائية متجانسة أو غير متجانسة.
يعتبر أهم أهدافنا في هذه الرسالة والتى تتكون من ستة فصول، هو تقديم وتطوير خوارزميات جديدة وفعالة للحصول على الحلول المباشرة للمعادلات التفاضلية الخطية من الرتب الكسرية، وذلك باستخدام طريقة تاو الطيفية على أساس التعبير عن الحل الطيفى بدلالة كثيرات حدود لآجير و لآجير المعممة و لآجير المعممة المعدلة فى فترة نصف لانهائية (0,∞). نهدف كذلك لانشاء خوارزميات جديدة وفعالة تعتمد علي الطريقة التجميعية للحصول على الحلول التقريبة للمعادلات التفاضلية ذات الشروط الابتدائية من الرتب الكسرية غير الخطية وذلك بدلالة كثيرات حدود لآجير و لآجير المعممة و لآجير المعممة المعدلة فى فترة نصف لانهائية، يؤدي هذا الإنشاء إلى تعيين معاملات مفاكيك الحلول وذلك من خلال أنظمة معادلات جبرية غيرخطية. حيث ان من اهم مميزات الطريقة التجميعية هى تقليص عدد المعادلات الجبرية غير الخطية .
نهدف أيضا في هذه الرسالة لتقديم وبناء خوارزميات فعالة تعتمد علي تقاريب طريقة تاو الطيفية بالاتحاد مع كلا من المصفوفات الفعالة للتفاضلات و للتكاملات من الرتب الكسرية بدلالة كثيرات حدود لآجير و لآجير المعممة و لآجير المعممة المعدلة للحصول على حلول للمعادلات التفاضلية ذات الشروط الابتدائية من الرتب الكسرية بمعاملات ثابتة. نهدف كذلك لانشاء خوارزميات جديدة وفعالة تعتمد علي الطريقة التجميعية بالاتحاد مع المصفوفات الفعالة سابقة الذكر للحصول على الحلول التقريبة للمعادلات التفاضلية ذات الشروط الابتدائية من الرتب الكسرية غير الخطية وذلك بدلالة كثيرات حدود لآجير و لآجير المعممة و لآجير المعممة المعدلة فى الفترة (0,∞) .
أعطينا في الفصل الأول مقدمة مختصرة عن التفاضل والتكامل الكسرى والطرق الطيفية ومميزاتها على طرق الفروق المحددة وطرق العنصر المنتهي. وضحنا أيضا الفروق بين الطرق الطيفية المستخدمة بصورة شائعة وهي طرق جالركن والطريقة التجميعية وطريقة تاو. قمنا كذلك بإعطاء دراسة مختصرة عن كثيرات الحدود المتعامدة وخصائصها ومفاكيك الدوال بدلالتها. أعطينا كذلك بعض الخصائص العامة لكثيرات حدود لآجير المعممة.
في الفصل الثاني قدمنا واثبتنا علاقة جديدة هامة والتى تعبر عن التفاضل من أى رتبة كسرية لكثيرات حدود لآجير من أى درجة وذلك بدلالة كثيرات حدود لاجير نفسها ووضحنا كيفية استخدام هذة العلاقة لتقديم خوارزميات جديدة وفعالة لحل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتب الكسرية بمعاملات ثابتة باستخدام طريقة تاو الطيفية. وقدمنا واثبتنا ايضا المصفوفة الفعالة للتكاملات الكسرية بدلالة كثيرات حدود لآجير من اى درجة ووضحنا كيفية استخدامها بطريقة تاو الطيفية لحل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتب الكسرية بمعاملات ثابتة. وقدمنا ايضا الطريقة التجميعية لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية من الرتب الكسرية بدلالة المصفوفات الفعالة لكثيرات حدود لآجير.
وفي الفصل الثالث قدمنا واثبتنا علاقة جديدة والتى تعبر عن التفاضل من اى رتبة كسرية لكثيرات حدود لآجير المعممة من اى درجة وذلك بدلالة كثيرات حدود لاجير المعممة نفسها ووضحنا كيفية استخدام هذة العلاقة لتقديم خوارزميات جديدة وفعالة لحل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتب الكسرية بمعاملات ثابتة باستخدام طريقة تاو الطيفية وقدمنا المصفوفة الفعالة للتفاضلات الكسرية بدلالة كثيرات حدود لآجير المعممة و كيفية استخدامها بطريقة تاو الطيفية لحل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتب الكسرية بمعاملات ثابتة. وقدمنا ايضا الطريقة التجميعية لايجاد حلول للمعادلات التفاضلية غير الخطية من الرتب الكسرية بدلالة كثيرات حدود لآجير المعممة.
وفي الفصل الرابع قدمنا واثبتنا المصفوفة الفعالة للتكاملات الكسرية بدلالة كثيرات حدود لآجير المعممة المعدلة ووضحنا كيفية استخدامها بطريقة تاو الطيفية لحل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتب الكسرية بمعاملات ثابتة فى حالة ما اذا كانت الشروط ابتدائية فى الفترة (0,∞) .
أما في الفصل الخامس فقدمنا واثبتنا علاقة جديدة تعبر عن التفاضل من اى رتبة كسرية لكثيرات حدود لآجير المعممة المعدلة من اى درجة وذلك بدلالة كثيرات حدود لآجير المعممة المعدلة نفسها ووضحنا كيفية استخدام هذة العلاقة لتقديم خوارزميات جديدة وفعالة لحل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتب الكسرية بمعاملات ثابتة باستخدام طريقة تاو الطيفية. كما قدمنا أيضا الطريقة التجميعية لحل المعادلات التفاضلية غير الخطية من الرتب الكسرية بدلالة كثيرات حدود لآجير المعممة المعدلة.
أخيرا وفي الفصل السادس فقد قدمنا واثبتنا المصفوفة الفعالة للتفاضلات من الرتب الكسرية بدلالة كثيرات حدود لآجير المعممة المعدلة ووضحنا كيفية استخدامها مع طريقة تاو الطيفية لايجاد حلول للمعادلات الطيفية الخطية من الرتب الكسرية بمعاملات ثابتة. كما وضحنا كيف نستخدم هذه المصفوفة مع الطريقة التجميعية لايجاد حلول للمعادلات التفاضلية غير الخطية من الرتب الكسرية فى الفترة (0,∞) .
قمنا بتوضيح النتائج التى حصلنا عليها في هذه الرسالة في شكل جداول بيانية ورسومات توضيحية كلما أمكننا ذلك. وضحت هذه النتائج أن الخوارزميات المقترحة لإيجاد الحلول الطيفية التقريبية للمعادلات التفاضلية الكسرية التي قمنا بدراستها دقيقة.
وعلى حد علمنا فإن الصيغ والخوارزميات التى أعطيت في الفصول من الثاني وحتي السادس جديدة تماماً.
ومما يستوجب الذكر فإن البرامج التى استخدمت في هذه الرسالة نفذت على الحاسب الشخصي من النوع (Intel (R) Core(TM) 2 Duo CPU 2.00 GHz, 2.00 GB of RAM) كما قمنا كذلك باستخدام البرنامج الرمزي الحسابي المعروف باسم (Mathematica 8) لعمل العمليات الحسابية الوسطية والجداول الحسابية وكذلك الرسومات التوضيحية في الرسالة ككل.